ε-δ論法による関数の収束と連続の違い
はじめに
関数の連続と収束の定義はとても似ているが，大きく違うところが一点ある。今回は下の記事で説明しなかった収束の定義について，前よりは正確に説明する。ただし，関数の収束と連続の定義を見たことがあって，以下の記事を読んだ人を想定して書いている。
視覚的な違い
以下の関数f(x)を考える。ただし，f(x)はx=aで不連続な関数である。このときでf(x)はAに収束するだろうか？是非考えて欲しい。
前の記事を読んだ人ならあるεをとると，どのようなδ近傍を取っても，x=aのとき赤線がε近傍をはみ出しているから収束しないと思うであろう。しかし実際は収束する。以下厳密な収束の定義を紹介する。
厳密な収束の定義
Aに収束する関数の定義を前と同じように書くと
「どんなAのε近傍を考えたとしても，aのδ近傍内のxについて，f(x)はε近傍に入る」
であるが，厳密には
「どんなAのε近傍を考えたとしても，aのδ近傍内のx=aを除いたxについて，f(x)はε近傍に入る」
である。つまり，x=aのときf(x)がε近傍に入るかどうかは関係ない。
さて，もう一度上のグラフでf(x)の収束性を確かめると，確かにx=a以外はε近傍に収まるようなδ近傍がとれるので収束していると言える。
まとめ
のとき関数f(x)がAに収束する定義については，x=aのときを考えなくてよい。
参考図書
田島先生の本に関数の収束や連続についての定義が厳密に書いてある。原先生の本には実際の証明で使うテクニックが書いてある。
