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Hello Dream World

作ったもの,感じた事をつらつらと。。。

ベクトルの動きがわかる! 点の存在範囲

はじめに

今回はアルバイト時代に説明に苦労した以下の問題を考える。

s+t≤1、s≧0、t≧0のとき {\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB} } での {\overrightarrow{\rm OP} } の存在範囲を求めよ

まず,s+t=1に固定したとき,点Pが線分ABの内分点であることを説明する。そのあとs+t≤1のとき,点Pの存在範囲が三角形ABCであることを確認する。(この記事は理解の補助になればと思って書いており,完全理解を与えるものではない。)

関連ワード

ベクトル,点の存在範囲,内分,s+t=1,s+t≤1

(1)s+t=1の場合

点PはABの内分点

まず内分点のベクトルの定義を書くと,

「ABをt:sに内分する点のベクトルは{\frac{s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}}{t+s}}

となる。

ここでs+t=1なら{s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}}がABを内分する点のベクトルであることがわかる。これは上に書いた{\overrightarrow{OP}}と一致するので点Pが内分点であることがわかる。

点Pの存在範囲の可視化

点PがABの内分点であることが分かったので,次はtの変化による点Pの変化をみる。tがが0〜1まで動いたときの点Pの動きは以下のようになる。

点PはABの内分点なので,tの動きにともなって線分AB上を動いていることがわかる。よってs+t=1のとき,点Pの存在範囲は線分ABとなる。

(2)s+t≤1の場合

ここではs+t≤1の場合を予想する程度にとどめる(詳しい話は知り合いの数学好きに質問してください)。

s+t=0.5のとき点Pの存在範囲はどこになるのか以下の図で確かめて欲しい。つまりs+t=0.5にして,tを0〜1まで変化さしたときの点Pの残像をみて欲しい。

s+tの他の場合もためせばわかるように点Pは線分OAとOBの間に存在する。よって,点Pの存在範囲は三角形OABであることがわかる。

まとめ

点Pの存在範囲は三角形OABであることがわかった。そのとき,内分点のベクトルを理解しておく必要があることもわかった。ベクトルや軌跡は動的グラフの効果が発揮できそうだと感じた。

おまけ

問題によってはs+t≤1以外のときもある。このときの可視化も作ったので遊んでみて欲しい。

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