ε-δ論法,ε-N論法を含めた数学的コンテンツの可視化とアプリケーション開発のブログ
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Hello Dream World

作ったもの,感じた事をつらつらと。。。

動きでわかる!三角形が通過してできる立体の体積

教材・教育 数学3

はじめに

立体図形はイメージしにくい問題の一つです。とくに体積を求める問題は大学生のときにも苦労した覚えがあります。体積は断面積を積分すればいいので,断面積を把握することが重要です。今回は以下の体積に関する問題について,断面積がどのように変化するのかがわかる教材をGeoGebraで作ってみました。

問題:半径aの円Oがある。この直径AB上の点Pを通り,直線ABに垂直な弦QRを底辺とし,高さがhである二等辺三角形を,円Oの面に対して垂直に作る。PがAからBまで動くとき,この三角形が通過してできる立体の体積Vを求めよ。

いろいろ書いていますが,底辺の端が円上にある二等辺三角形が通過してできる立体の体積を求めよってことです。

断面の変化の可視化

以下の図は,点PがAB上のどこかにある場合です。それでは実際に[アニメーション]でPがAからBまで動くときの三角形の通過してできる立体を感じてみてください。(ドラッグで回転できます。ズームなどでおかしくなった場合はページを更新するか,[ストップ]の右上にあるボタンを押してください)

スマホは別タブ表示推奨:http://ggbtu.be/m1427009

言葉では表現できないような立体ですね。

ではどうやって体積を求めるのかというと,上にも書いたように断面積S(x)を求めて,点Aのx座標から点Bのx座標まで積分すればできます。そして断面積S(x)はいくらというと,上のグラフにおける点Pのx座標がxの場合の三角形の面積を求めればいいです。

 

まとめ

イメージできなくても,断面とその断面が動く範囲がわかれば体積は求まります。ただ,いったい何をしようとしているのか?どこが断面なのか?のように理解を深めるためには,上のような教材を使うことが有効だと思いました。

 

関連リンク

今回のような教材を集めたサイトです。個人でコツコツ作っているので,よければ応援してください。

sites.google.com

今回の教材の直接リンクです。

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教材が関係している僕のブログ記事一覧です。

simanezumi1989.hatenablog.com