ε-δ論法,ε-N論法を含めた数学的コンテンツの可視化とアプリケーション開発のブログ
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Hello Dream World

作ったもの,感じた事をつらつらと。。。

ワイルズの証明のメモと参考文献

メモ

フェルマーの最終定理を証明するには「楕円曲線はモジュラーである(谷山=志村予想)」を示せばいいことがわかった(前回の記事)。谷山=志村予想を示したのがワイルズで,その証明方法の参考になるものを書き留めておく。

5. 谷山志村予想の証明. ではその谷山志村予想はどうやつて証明するの だらうか?そこには現代の数論に於ける典型的な idea が満ち溢れてゐる。

まづ楕円曲線と保型形式とを比較するために、「ガロア表現」7 といふ 大きな土俵をこしらへ、そこで両者を取り組ませる

...

かくして、楕円曲線と保型形式の双方からそれぞれ一つずつ、ガロア 表現の系列 V (E, pn), V (f, pn) (n = 1, 2, 3, ...) が得られるが、「それら10 ガロア表現として同じ性質を持つ」といふ事と「E f(z) とが谷山志 村予想の意味で対応する」といふ事とは同値である事が証明出来る。そこ で、(我々の目標は E に対して f(z) を対応させる事であるが、そのために は ) E に 対 し て 、V ( E , p n ) と 同 じ 性 質 を 持 つ V ( f , p n ) を 生 ず る f ( z ) を 探 せばよい。

楕円曲線とモジュラー形式を直接比較したい

    ↓

ガロア表現

{R_n}楕円曲線から生まれるガロア表現の変形環

{T_n}:モジュラー形式から生まれるガロア表現のHecke環

に変形し「{R_n=T_n}」を示したい

    ↓

nのとき等しいならn+1のときも等しいか調べたい

    ↓

普遍量 η について「{\eta(R_n)=\eta(T_n)}ならば{R_n=T_n}」なので,{\eta(R_n)=\eta(T_n)}を示したい

    ↓

普遍量 {η} の定義から{\eta(R_n)≥\eta(T_n)}なので{\eta(R_n)≤\eta(T_n)}が示したい。ここで{\eta(R_n)}Selmer群」というもので解釈したとき,岩澤理論を用いて{\eta(R_n)≤\eta(T_n)}が示せる。

    ↓

楕円曲線とモジュラー形式の対応が示せた!

参考文献

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~taguchi/nihongo/fermat-JSA.pdf

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/wiles05.pdf