ワイルズの証明のメモと参考文献 - Unityゲーム開発スタジオ　スタジオしまづ

メモ

フェルマーの最終定理を証明するには「楕円曲線はモジュラーである（谷山=志村予想）」を示せばいいことがわかった（前回の記事）。谷山=志村予想を示したのがワイルズで，その証明方法の参考になるものを書き留めておく。

5. 谷山志村予想の証明. ではその谷山志村予想はどうやつて証明するのだらうか?そこには現代の数論に於ける典型的な idea が満ち溢れてゐる。

まづ楕円曲線と保型形式とを比較するために、「ガロア表現」7 といふ大きな土俵をこしらへ、そこで両者を取り組ませる。

...

かくして、楕円曲線と保型形式の双方からそれぞれ一つずつ、ガロア表現の系列 V (E, pn), V (f, pn) (n = 1, 2, 3, ...) が得られるが、「それら10 がガロア表現として同じ性質を持つ」といふ事と「E と f(z) とが谷山志村予想の意味で対応する」といふ事とは同値である事が証明出来る。そこで、(我々の目標は E に対して f(z) を対応させる事であるが、そのためには ) E に対して、V ( E , p n ) と同じ性質を持つ V ( f , p n ) を生ずる f ( z ) を探せばよい。

楕円曲線とモジュラー形式を直接比較したい

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ガロア表現

${R_n}$ ：楕円曲線から生まれるガロア表現の変形環

${T_n}$ ：モジュラー形式から生まれるガロア表現のHecke環

に変形し「 ${R_n=T_n}$ 」を示したい

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nのとき等しいならn+1のときも等しいか調べたい

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普遍量 η について「 ${\eta(R_n)=\eta(T_n)}$ ならば ${R_n=T_n}$ 」なので， ${\eta(R_n)=\eta(T_n)}$ を示したい

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普遍量 ${η}$ の定義から ${\eta(R_n)≥\eta(T_n)}$ なので ${\eta(R_n)≤\eta(T_n)}$ が示したい。ここで ${\eta(R_n)}$ を「Selmer群」というもので解釈したとき，岩澤理論を用いて ${\eta(R_n)≤\eta(T_n)}$ が示せる。