ε-δ論法,ε-N論法を含めた数学的コンテンツの可視化とアプリケーション開発のブログ
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Hello Dream World

作ったもの,感じた事をつらつらと。。。

動きでわかる!双曲線のグラフ

はじめに GeoGebraで双曲線のグラフを描く教材を作りました。今回は双曲線の定義を確認し,教材を使ってそのグラフを紹介します。 双曲線の方程式 2点F,F'からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といいます。また,この点F,F'を双曲線の焦点といいま…

動きでわかる!楕円のグラフ

はじめに GeoGebraで楕円のグラフを描く教材を作りました。今回は楕円の定義を確認し,教材を使ってそのグラフを紹介します。 楕円の方程式 2点F,F'からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円といいます。また,この点F,F'を楕円の焦点といいます。 グラ…

動きでわかる!放物線のグラフ

はじめに GeoGebraで放物線のグラフを描く教材を作りました。今回は放物線の定義を確認し,教材を使ってそのグラフを紹介します。 放物線の方程式 定点Fからの距離と,Fを通らない定直線lからの距離が等しい点の軌跡を放物線といいます。また,この点Fを放物…

動きでわかる!立方体の断面図(3)

はじめに 前回,前々回とは違う角度で切った断面図の教材をGeoGebraで作りました。 立方体の断面図 チェックボックスで断面図がみれます。また,特徴的な図形を設定するボタンを作りました。 別タブ表示:http://ggbtu.be/m1436985 感想 立方体に関しては前…

動きでわかる!立方体の断面図(2)

はじめに 前回とは違う角度で切った断面図の教材を作りました。 前回の記事 <a href="http://simanezumi1989.hatenablog.com/entry/2015/07/25/233234" data-mce-href="http://simanezumi1989.hatenablog.com/entry/2015/07/25/233234">動きでわかる!立方体の断面図 - Hello Dream World</a>simanezumi1989.hatenablog.com 立方体の断面図 チェックボックスで断面図がみれます。また,特徴的な図形を設定するボタンを作…

動きでわかる!立方体の断面図

はじめに 立体の断面図を考える問題は難しいです。今回は立方体の断面図を考える教材をGeoGebraで作りました。 立方体の断面図 チェックボックスで点A,B,C,D,E,Fを通る断面図を確認できます。またドラッグで図形を回転できます。左側のバーを動かすことで,…

図で考える!円周率が3なら...

はじめに 「もしも〜 ♪ 円周率が〜 ♪ 3なら〜 ♪ 円は正六角形になる」ってな感じのことを聞いたことがあったので,円周率が3のときの図形を求めてみました(図形は円にならないので「周率」と呼ぶことにします)。また,逆に正n角形のときの周率を求める教材…

動きでわかる!トーラス(円環体)の体積

はじめに 宣言通りトーラスの体積に関する教材を紹介します。問題は以下です。 「0

動きでわかる!半円の回転体の体積

はじめに 前回,前々回と体積に関係する教材を紹介しました。今回はGeoGebraで作った回転体の体積の教材について紹介します。 球は半円の回転体 半径rの球は半円とx軸で囲まれた部分が,x軸の周りで一回転してできます。当たり前のようですが,可視化してみ…

動きでわかる!平面によって円柱を2つの立体に分けたときの体積

はじめに 前回体積の問題について教材を紹介しました。 動きでわかる!三角形が通過してできる立体の体積 - Hello Dream Worldsimanezumi1989.hatenablog.com 今回も体積の問題の教材を作ったので紹介します。 「底面の半径がaで高さもaである直円柱がある。…

動きでわかる!三角形が通過してできる立体の体積

はじめに 立体図形はイメージしにくい問題の一つです。とくに体積を求める問題は大学生のときにも苦労した覚えがあります。体積は断面積を積分すればいいので,断面積を把握することが重要です。今回は以下の体積に関する問題について,断面積がどのように変…

イメージが見える!区分求積法

はじめに 面積を求める方法として区分求積法というものがあります。今回はこの区分求積法の考え方を可視化してみました。 区分求積法とは? 区分求積法とは,求める面積を複数の四角形に分割し,足し合わせて求める方法です。 微分と積分の関係がわかる以前…

動きでわかる!連立1次不等式と整数の個数

はじめに 今回は 「x<4/9,a+3

動きでわかる!2次関数の平行移動

はじめに 「2次関数 のグラフを平行移動したらどうなるか?」の教材として,動的グラフをGeoGebraで作りました。平行移動した式を求める方法は式で書いてしまえば簡単なので,この記事では説明しません。 のグラフの平行移動 スライダーを動かせば,平行移…

展開図が見える!正四面体の内接球の半径の求め方

告知 AIを構築して対戦するゲームを作っています。 ホーム - fromalgorithm ページ! はじめに 空間図形はイメージしにくい問題の1つです。今回紹介する問題は 「正四面体の内接球の半径を求めよ」 です。この解法と解法の図形的意味について動的グラフで説…

動きでわかる!複素数平面上の三角形(3点の位置関係)

はじめに 「複素数平面上の点A(z1),B(z2),C(z3)からなる△ABCの∠BACを求めよ。 」 という問題を解くときに,原点O,E(1),D()の角EODを調べればよいという方法があります。教科書にも載っている有名な方法ですが,紙ではイメージしにくいと思ったので作ってみ…

複素数はベクトル? 図でわかる複素数の性質!

はじめに 複素数平面を勉強すると,ベクトルの考え方が多く出てきます。今回は複素数平面での複素数は実数平面上でのベクトルと一致することを確かめます。 複素数平面 以下の図は複素数z1,z2によって得られる-z2,z2+z1,z2-z1を可視化したものです。z1,z…

弧度法とはなにか?図で理解する弧度法の世界!

はじめに 弧度法とはなにか?これを理解できたのは最近です。なぜ理解できたかというと,教科書をちゃんと読み直したからです。今回はこの理解を具体化して,動きでわかるように表現しました。 弧度法とはなにか? 下の図で有名角(30°,45°,60°など)に対す…

軌跡とはなにか?動きでわかる軌跡の説明!(線分の中点の軌跡)

はじめに 以下の記事で軌跡とは「集合の表す図形」であることを書きました。 軌跡とはなにか?動きでわかる軌跡の説明(n:mの軌跡) - Hello Dream World 今回は,軌跡につきものな「逆に・・・」について書きます。軌跡の可視化はおまけです。 「逆に・・・…

軌跡とはなにか?動きでわかる軌跡の説明(n:mの軌跡)

はじめに 軌跡とは「条件を満たす点の集まりの図形」であることを以下で書いた。 軌跡とはなにか?動きでわかる軌跡の説明!(中点の軌跡) - Hello Dream World 今回はまた別の軌跡の言い換えについて書きます。また動的グラフで軌跡の可視化をします。 軌…

軌跡とはなにか?動きでわかる軌跡の説明!(中点の軌跡)

はじめに 今回は軌跡とはなにか?を動的グラフを使って説明します。 軌跡とはなにか? 簡単に言えば 条件を満たす点の集まりが表す図形 です。例えば 「2点A,Bに対してAP=BPを満たす点Pの軌跡を求めよ」 という問題について言い換えると 「2点A,Bに対してA…

教材共有サイトを作った!

はじめに 以前教育のデジタル化のためにデジタル教材の共有サイトがあればいいのではないか,という記事を書きました。 &amp;lt;a href="http://simanezumi1989.hatenablog.com/entry/2015/06/11/144946" data-mce-href="http://simanezumi1989.hatenablog.c…

動きでわかる! 微分とはなにか? 定義とグラフの関係

はじめに 今回は「微分とは接線の傾きである」と言われる理由について書きます。そのために,微分の定義を紹介し,動的グラフを使って説明します。教科書の微分のページを開けば書いてあることなので,合わせて読むと理解が深まると思います。 関連ワード 微…

ベクトルの動きがわかる! 点の存在範囲

はじめに 今回はアルバイト時代に説明に苦労した以下の問題を考える。 「s+t≤1、s≧0、t≧0のとき での の存在範囲を求めよ」 まず,s+t=1に固定したとき,点Pが線分ABの内分点であることを説明する。そのあとs+t≤1のとき,点Pの存在範囲が三角形ABCである…

三角関数のグラフ

はじめに 三角関数のグラフを可視化してみました。よく見るものなので説明は省きます。 三角関数 左下にスタートボタン,右上にリセットボタンがあります。残像を消す場合に使えます。 まとめ 作り方があまりイメージできなかったですが作ってみるとサクッと…

方べきの定理を可視化してみた

はじめに 方べきの定理をGeoGebraで可視化した。方べきの定理で検索すると大抵3パターンでてくるが,実際は1パターンなので,そこを上手く表現することに力を使った。そのため今までの教材よりかなり苦労した。。。 方べきの定理 有名な定理なので定理の説…

接弦定理を可視化してみた

はじめに 前の円周角の定理と同じぐらい有名な接弦定理をGeoGebraを使って可視化しました。 接弦定理 点Aはスライダーで動きます。他の点は自由に動かせます。 まとめ 円周角の定理と同様にシンプルでわかりやすい教材になっていると思います。 関連記事 円…

上限の必要十分の可視化

はじめに 最大値・最小値の拡張的概念として上限・下限がある。上限の定義はシンプルで,「上界の最小値」であるが,定理の証明などで使う場合は論理記号で書かれた必要十分条件を使うことが多い。今回は「解析学入門(田島一郎)」にも登場する上限の必要十分…

円に内接する四角形の内対角の和を可視化してみた

はじめに 円に内接する四角形の内対角の和が180°であることを可視化してみました。 円に内接する四角形の内対角の和 点Aはスライダーで動きます。それ以外は実際に触ることで動きます。 まとめ この教材は,すでにイメージがある人にとっては面白くないと思…

「三角比を使って物の高さを求める(3D)」の資料

はじめに 三角比を使って建物の高さを求める問題について,三次元のときが特にわかりにくいという話を聞いたので,補助教材を作ってみた。その際感じたGeoGebraの操作性についても書きます。 三次元教材 点Aは固定で,点B,Dは軸に沿って移動します。また点C…

ピタゴラスによる三平方の定理

はじめに 三平方の定理の証明をGeoGebraで説明します。三平方の定理の証明はたくさんありますが,今回は特にピタゴラスが行ったと言われている証明方法を紹介します(正確な情報は知りません)。 ピタゴラスによる三平方の定理の証明 以下の図で,スライダー…

円周角の定理を可視化してみた。

はじめに GeoGebraで教材作りをしている。今回は円周角の基本的な定理を可視化してみた。 円周角の定理 左下の三角ボタンを押せばアニメーションが始まる。 アニメーションでみるとチューチュートレインが頭に浮かんだ。。。 まとめ GeoGebraの使い方がまだ…

ε-δ論法による関数の収束と連続の違い

はじめに 関数の連続と収束の定義はとても似ているが,大きく違うところが一点ある。今回は下の記事で説明しなかった収束の定義について,前よりは正確に説明する。ただし,関数の収束と連続の定義を見たことがあって,以下の記事を読んだ人を想定して書いて…

なぜε-N論法は「N+1以上」「2ε」を考えてもいいのか

はじめに 数列がaに収束することの定義は (1):「どんなε>0を考えたとしても,N番目以降の数列がaのε近傍に入るようなNが存在する」 であるが,本によっては (2):「...ある番号N+1以降の数列がaのε近傍に入るような番号Nが存在する」 (3):「...ある番号N以降…

集合の練習問題

GeoGebraで依頼があったので集合の補助教材を作ってみた。

収束する数列の極限値と符合の関係

はじめに 今回は以下の問題を図で解説する。 「 で とする。このとき,ある番号以降 は と同符合であることを示せ」 数列は極限値にいくらでも近くなるので極限値と同符合であることは当たり前である。ただし「いくらでも近くなる」は定義ではなく勝手な解釈…

収束する数列は有界

はじめに 今回は「収束する数列は有界」という定理を前回のイメージを使って示します。 この定理は当たり前のようなことですが,数学には当たり前の基準がないので,示すのは当たり前ですね。。。 有界な数列とは 数列 が有界であるとは 「あるMを考えたとき…

GeoGebraを使ってε-N論法(数列の収束)を可視化してみた。

はじめに 今回はε-N論法について,収束する例としない例をあげ,個人的な思いを書いた。 ※ スマホではグラフが小さくなるのでPCで見ることをすすめる 数列が収束する定義 のとき数列 がAに収束することの定義は 「どんなAのε近傍を考えたとしても,数列のあ…

GeoGebraを使ってε-δ論法を可視化してみた

はじめに GeoGebraで教材を作るのが面倒になってきた。リアクションがあまりないのでやりがいがない。。。すこし前に高校生からε-δ論法の質問を受けた。ってことで,今後その高校生の質問も答えやすくするためにε-δ論法系の資料を作ってみた。 ※ スマホでは…

GeoGebraでド・モルガンの法則を可視化してみた。

ド・モルガンの法則を可視化しました。複数チェックすると共通部分を表示することがあるのでチェックは一つづつ付けてください。 可視化したけどド・モルガンの良さは可視化しなくても否定(補集合)の簡単な表記を考えられる点です。 例えば,ド・モルガン…

GeoGebraでベン図をつくってみた。

はじめに GeoGebraで教材作りをしています。この時期多くの高1は集合を勉強しているようなのでベン図をつくってみました。その過程で大きな壁にぶつかったりしたので,文句も混ぜながら書いていきます。 ベン図が書けない! 集合といえばベン図なので,早速…

数学教育系補助教材の開発について

はじめに Geogebraを使った数学系電子教材の美しさは前回見てもらった通りなので,今後は需要があるのかを調べていこうと思います。そのために自分で販売サイトを作ろうとしましたが結構手間がかかるので既存のサイトを使うことにした。 (販売サイト構築が…

Geogebraを使った数学教育系補助教材の開発について

はじめに ここ数年教育界で教材のデジタル化が話題になっています。教材のデジタル化を簡単に説明すれば,電子教科書やPowerPointなどを使って授業することです。ここで問題となるのが,この教材をどうやって用意するかです。多くは教科書会社か教師が用意し…

Topcoder SRM DIV2 660のコード(Java)

はじめに Java難しいですね。今回は前にPythonで解いた問題をJavaで解きました。 <a href="http://simanezumi1989.hatenablog.com/entry/2015/06/06/042151" data-mce-href="http://simanezumi1989.hatenablog.com/entry/2015/06/06/042151">Topcoder SRM DIV2 660のコード(Python) - Hello Dream World</a> ただし,わからないことが多かったので,ほとんどこの方のコードを写しました。 &lt;a href…

Topcoder SRM DIV2 660のコード(Python)

はじめに 前回TopcoderのSRMに参加して惨敗したことを書きました。 topcoderのSRM(Single Round Match)に参加した - Hello Dream World このときに考えていた方法よりもずっといい方法でされている方がおられたので,考え方を参考にPythonでプログラムを書い…

topcoderのSRM(Single Round Match)に参加した

はじめに 昨日(6/4)20:00からあったSRMに参加しました。SRMとはSingle Round Matchのことで,制限時間内に難易度の違う3問を答えて,その速さと正確性を競う個人の競技プログラミングのことです。結果は一つも解けませんでした。まだ解けていないので,今日…

起業アイデア

起業アイデアに関するある記事で 「自分や周りの人の生活で,うまくいかないことや,楽しくないことを解決するアイデアを考えればいい」 とあった。僕の場合を考えてみよう。。。もしすでにあるのであればそれはそれでいいな^^ ・年金とか保険料の振り込み…

Java Java。。。わからなーい

topcoderの過去問(Practice room)をSRM DIV2 144〜151までPythonで解いた(その記事はまた書きます)。 そこでJavaで書こうとしたがなんだかコードがたくさんで大変だ^^; そしてエラーがたくさんでる^^; あとPythonがわかりやすすぎる!まだ少ししか触…

topcoder。。。始めるまでが辛い

はじめに topcoder始めました。今回は始めるにあたってログインの仕方や,言語の壁について書きます。 ログインまで topcoderはあるサイトにログインして問題を解いていくシステムなのですが,ログインするまでが辛い。ただ,僕の場合は基本このサイトと同じ…

topcoder始めました。

(この前無職のかたとskypeしました。とても良かったので,また今度書きます。) 人工知能を遠い夢として,最近project eulerにはまっています。 About - Project Eulerprojecteuler.net これはサイト内で出される問題をプログラミングで解いていくサイトで…