ε-δ論法,ε-N論法を含めた数学的コンテンツの可視化とアプリケーション開発のブログ
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Hello Dream World

作ったもの,感じた事をつらつらと。。。

フライ曲線がモジュラーでない証明の方針(1)

大学数学 数学史

「フライ曲線はモジュラーでない半安定楕円曲線である」ことの証明には,フライ曲線からゼータ関数を作って,モジュラー形式を作って,そいつが重み2レベル2であることを示せばいいのか?それともモジュラー性パターンがないことを示せばいいのか?

他の資料にはレベル1のモジュラー形式はないって方針で証明したってあるし,,,まだ整理がうまくいっていない

 

ようわからんが,フライ曲線のモジュラー形式を考え,重みとレベルを確かめる方向で行く。

参考資料

このフライ曲線をもとに導かれたゼータ関数は、谷山・志村予想により、重さ2,レベル2の保型形式になる。そこで、楕円曲線の判別式が2n乗数であるという特殊性を使えば、重さが2でレベルが2の保型形式が存在するということが証明されてしまう。
しかし、保型形式の理論によれば、そのような関数は存在しないことがわかっているので、谷山・志村予想が正しければフェルマー予想も正しいことになるのである。
フライは、判別式が 2n 乗となるような珍しい曲線は存在しないことを示唆した。この曲線は非常に 奇妙であり、その p 欠乏はモジュラー性パターンを表さないはずだと予想した。
フライの予想はジャン・ピエール・セールによって精密化され、1,986年にケネス・リベットが
モジュラー性予想(谷山・志村予想)に反することを証明した。
つまり、リベットはan+bn=cn がabc≠0 を満たす解をもつとき、フライ曲線がモジュラー性を 持たないことを証明したのである。

http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/43_fermat.pdf

 

Wiles の結果により, Fermat 曲線の有理点 (a, b, c) からつくった Frey 曲線 Ea,b,c にはあ るモジュラー形式 fEa,b,c が対応する. さらに, Ribet の結果と Frey 曲線の判別式と導手の 関係から,fEa,b,c modulopで合同なq-展開をもつあるレベル1のモジュラー形式gが存 在しなければならない. 一方で, 先述のようにモジュラー形式の空間は非常によく調べられ ており N = 1 のときには空間の次元が 0, すなわちレベル 1 のモジュラー形式は存在ない のである. 従ってFermat曲線の非自明な有理点があると矛盾が引き起こされることより (背理法)Fermat の最終定理が証明される.