ε-δ論法,ε-N論法を含めた数学的コンテンツの可視化とアプリケーション開発のブログ
読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Hello Dream World

作ったもの,感じた事をつらつらと。。。

図で考える!円周率が3なら...

教材・教育 数学1

はじめに

「もしも〜 ♪ 円周率が〜 ♪ 3なら〜 ♪  円は正六角形になる」ってな感じのことを聞いたことがあったので,円周率が3のときの図形を求めてみました(図形は円にならないので「周率」と呼ぶことにします)。また,逆に正n角形のときの周率を求める教材をGeoGebraで作りました。今回はこの教材を利用しながら

・円周率とはなにか?

・周率が3なら図形は正六角形

・ 正多角形との関係は?

・円周率を3にする!?

について書きます。

 

簡単のため,半径は1とします(半径とは図形の中心から頂点までの距離を意味する)。

円周率(周率)とはなにか?

{円周率=\frac{円周の長さ}{2×半径}}

{周率=\frac{周の長さ}{2×半径}}

です。

周率が3なら図形は正六角形

周率が3なら,周の長さ=2×周率×半径=2×3×1=6 となります。半径が1で周の長さが6の正多角形は正六角形のみなので求める図形は正六角形になります。

 円と正多角形との関係は?

正多角形の周率

周率が3なら円は正六角形になります。私はさらに周率が2や4ならどうなるのか考えてみましたが,正多角形で表現できなかったので諦めました。そこで正六角形の周率が3であるのなら,他の正多角形の周率がいくらになるのかを求めてみました。

周率を求める教材

以下は半径が1の正n角形とそのときの周率を表したものです。また,周の長さの求め方も作りました。

 別タブ表示:http://ggbtu.be/m1433627

この教材から正n角形はnを大きくすれば円に近づくことがわかります。実際周の長さに関しては

f:id:simanezumi1989:20150724100823p:plain

となります。

 

この教材でどこかの入試問題にもあった円周率が3.05より大きいことの説明も出来ます。実際n=12のとき {L^2=2-\sqrt{3}} から周率を出して,3.05より大きいことを示せばいいです(n=12はθが有名角となるもっとも大きなnだから,,,かな?)。

円周率を3にする!?

昔々円周率を3として教えることが話題になったけど,もし今そうなっても個人的にはどちらでもいいです。なぜなら

・円周率を理解している人は,3.14が3になっても困ることはない

・円周率を理解していない人は,3.14が3になっても数学的理解に違いはない

と思うからです。ただし,教える立場で考えると計算が簡単になって教えやすいが導入が難しいという問題があります。そう考えると導入は3.14で計算は3でもいいって方針があったのは納得ですね。

 

ちなみに僕は高3になるまで円周率の意味を理解していませんでした。 

まとめ

円周率とは円周を直径で割ったものであることを確認しました。また,正n角形のnを大きくしていけば円に近づくことを,教材と式で紹介しました。

感想

今回は夏休みの自由研究みたいで面白かったです。実際「円周率が3だったら」ってタイトルで出せそうですね。

関連リンク

今回のような教材を集めたサイトです。個人でコツコツ作っているので,よければ応援してください。

sites.google.com

今回の教材の直接リンクです。

sites.google.com

 

教材が関係している僕のブログ記事一覧です。

simanezumi1989.hatenablog.com