はじめに 立体図形はイメージしにくい問題の一つです。とくに体積を求める問題は大学生のときにも苦労した覚えがあります。体積は断面積を積分すればいいので，断面積を把握することが重要です。今回は以下の体積に関する問題について，断面積がどのように変…

はじめに 面積を求める方法として区分求積法というものがあります。今回はこの区分求積法の考え方を可視化してみました。 区分求積法とは？ 区分求積法とは，求める面積を複数の四角形に分割し，足し合わせて求める方法です。 微分と積分の関係がわかる以前…

はじめに 今回は 「x<4/9，a+3

はじめに 「２次関数 のグラフを平行移動したらどうなるか？」の教材として，動的グラフをGeoGebraで作りました。平行移動した式を求める方法は式で書いてしまえば簡単なので，この記事では説明しません。 のグラフの平行移動 スライダーを動かせば，平行移…

告知 AIを構築して対戦するゲームを作っています。 ホーム - fromalgorithm ページ！ はじめに 空間図形はイメージしにくい問題の１つです。今回紹介する問題は 「正四面体の内接球の半径を求めよ」 です。この解法と解法の図形的意味について動的グラフで説…

はじめに 「複素数平面上の点A(z1)，B(z2)，C(z3)からなる△ABCの∠BACを求めよ。 」 という問題を解くときに，原点O,E(1),D()の角EODを調べればよいという方法があります。教科書にも載っている有名な方法ですが，紙ではイメージしにくいと思ったので作ってみ…

はじめに 複素数平面を勉強すると，ベクトルの考え方が多く出てきます。今回は複素数平面での複素数は実数平面上でのベクトルと一致することを確かめます。 複素数平面 以下の図は複素数z1，z2によって得られる-z2，z2+z1，z2-z1を可視化したものです。z1，z…

はじめに 弧度法とはなにか？これを理解できたのは最近です。なぜ理解できたかというと，教科書をちゃんと読み直したからです。今回はこの理解を具体化して，動きでわかるように表現しました。 弧度法とはなにか？ 下の図で有名角(30°，45°，60°など)に対す…

はじめに 以下の記事で軌跡とは「集合の表す図形」であることを書きました。 軌跡とはなにか？動きでわかる軌跡の説明（n:mの軌跡） - Hello Dream World 今回は，軌跡につきものな「逆に・・・」について書きます。軌跡の可視化はおまけです。 「逆に・・・…

はじめに 軌跡とは「条件を満たす点の集まりの図形」であることを以下で書いた。 軌跡とはなにか？動きでわかる軌跡の説明！（中点の軌跡） - Hello Dream World 今回はまた別の軌跡の言い換えについて書きます。また動的グラフで軌跡の可視化をします。 軌…

はじめに 今回は軌跡とはなにか？を動的グラフを使って説明します。 軌跡とはなにか？ 簡単に言えば 条件を満たす点の集まりが表す図形 です。例えば 「２点A,Bに対してAP=BPを満たす点Pの軌跡を求めよ」 という問題について言い換えると 「２点A,Bに対してA…

はじめに 今回は「微分とは接線の傾きである」と言われる理由について書きます。そのために，微分の定義を紹介し，動的グラフを使って説明します。教科書の微分のページを開けば書いてあることなので，合わせて読むと理解が深まると思います。 関連ワード 微…

はじめに 今回はアルバイト時代に説明に苦労した以下の問題を考える。 「s+t≤１、s≧０、t≧０のとき での の存在範囲を求めよ」 まず，s+t=1に固定したとき，点Pが線分ABの内分点であることを説明する。そのあとs+t≤1のとき，点Pの存在範囲が三角形ABCである…

はじめに 三角関数のグラフを可視化してみました。よく見るものなので説明は省きます。 三角関数 左下にスタートボタン，右上にリセットボタンがあります。残像を消す場合に使えます。 まとめ 作り方があまりイメージできなかったですが作ってみるとサクッと…

はじめに 方べきの定理をGeoGebraで可視化した。方べきの定理で検索すると大抵３パターンでてくるが，実際は１パターンなので，そこを上手く表現することに力を使った。そのため今までの教材よりかなり苦労した。。。 方べきの定理 有名な定理なので定理の説…

はじめに 前の円周角の定理と同じぐらい有名な接弦定理をGeoGebraを使って可視化しました。 接弦定理 点Aはスライダーで動きます。他の点は自由に動かせます。 まとめ 円周角の定理と同様にシンプルでわかりやすい教材になっていると思います。 関連記事 円…

はじめに 最大値・最小値の拡張的概念として上限・下限がある。上限の定義はシンプルで，「上界の最小値」であるが，定理の証明などで使う場合は論理記号で書かれた必要十分条件を使うことが多い。今回は「解析学入門(田島一郎)」にも登場する上限の必要十分…

はじめに 円に内接する四角形の内対角の和が180°であることを可視化してみました。 円に内接する四角形の内対角の和 点Aはスライダーで動きます。それ以外は実際に触ることで動きます。 まとめ この教材は，すでにイメージがある人にとっては面白くないと思…

はじめに 三角比を使って建物の高さを求める問題について，三次元のときが特にわかりにくいという話を聞いたので，補助教材を作ってみた。その際感じたGeoGebraの操作性についても書きます。 三次元教材 点Aは固定で，点B,Dは軸に沿って移動します。また点C…

はじめに 三平方の定理の証明をGeoGebraで説明します。三平方の定理の証明はたくさんありますが，今回は特にピタゴラスが行ったと言われている証明方法を紹介します（正確な情報は知りません）。 ピタゴラスによる三平方の定理の証明 以下の図で，スライダー…

はじめに GeoGebraで教材作りをしている。今回は円周角の基本的な定理を可視化してみた。 円周角の定理 左下の三角ボタンを押せばアニメーションが始まる。 アニメーションでみるとチューチュートレインが頭に浮かんだ。。。 まとめ GeoGebraの使い方がまだ…

はじめに 関数の連続と収束の定義はとても似ているが，大きく違うところが一点ある。今回は下の記事で説明しなかった収束の定義について，前よりは正確に説明する。ただし，関数の収束と連続の定義を見たことがあって，以下の記事を読んだ人を想定して書いて…

はじめに 数列がaに収束することの定義は (1):「どんなε>0を考えたとしても，N番目以降の数列がaのε近傍に入るようなNが存在する」 であるが，本によっては (2):「...ある番号N+1以降の数列がaのε近傍に入るような番号Nが存在する」 (3):「...ある番号N以降…

GeoGebraで依頼があったので集合の補助教材を作ってみた。

はじめに 今回は以下の問題を図で解説する。 「 で とする。このとき，ある番号以降 は と同符合であることを示せ」 数列は極限値にいくらでも近くなるので極限値と同符合であることは当たり前である。ただし「いくらでも近くなる」は定義ではなく勝手な解釈…

はじめに 今回は「収束する数列は有界」という定理を前回のイメージを使って示します。 この定理は当たり前のようなことですが，数学には当たり前の基準がないので，示すのは当たり前ですね。。。 有界な数列とは 数列 が有界であるとは 「あるMを考えたとき…

はじめに 今回はε-N論法について，収束する例としない例をあげ，個人的な思いを書いた。 ※ スマホではグラフが小さくなるのでPCで見ることをすすめる 数列が収束する定義 のとき数列 がAに収束することの定義は 「どんなAのε近傍を考えたとしても，数列のあ…

はじめに GeoGebraで教材を作るのが面倒になってきた。リアクションがあまりないのでやりがいがない。。。すこし前に高校生からε-δ論法の質問を受けた。ってことで，今後その高校生の質問も答えやすくするためにε-δ論法系の資料を作ってみた。 ※ スマホでは…

ド・モルガンの法則を可視化しました。複数チェックすると共通部分を表示することがあるのでチェックは一つづつ付けてください。 可視化したけどド・モルガンの良さは可視化しなくても否定（補集合）の簡単な表記を考えられる点です。 例えば，ド・モルガン…

はじめに GeoGebraで教材作りをしています。この時期多くの高１は集合を勉強しているようなのでベン図をつくってみました。その過程で大きな壁にぶつかったりしたので，文句も混ぜながら書いていきます。 ベン図が書けない！ 集合といえばベン図なので，早速…